Variables aléatoires à densité. ’’’Le tout en un’.

CE MODESTE TRAVAIL EST À LA DISPOSITION DE TOUS MAIS N’EST PAS UTILISABLE À DES FINS COMMERCIALES

ARTICLE EN CONSTRUCTION QUI SERA TERMINÉ FIN MARS. Hum, c’est raté ! Trop de temps passé sur la réduction. Je préfère maintenant travailler sur les exercices de l’oral de HEC. Je finirai en 2013-2014 avec le nouveau programme en ligne de mire...

 Un résumé de cours ancien programme.

 Un résumé de cours nouveau programme, premier et deuxième année (15-03-2014) ; théorème de transfert actualisé)

 Une ancienne série d’exercices corrigés pour revisiter les savoirs faire usuels et les classiques.

Le programme a changé en 2005. Certaines corrections ont été écrites avant et ne sont plus tout à fait au goût du jour...

 Le début de la nouvelle série d’exercices pour revisiter les savoirs faire usuels et les classiques.

Il est prévu au moins 150 exercices. Voici les 82 premiers énoncés et les 82 premières corrections (14-03-2014). En gros cela termine le conducteur 1

— Conductueur 1 Exercices autour de : densités, fonctions de répartition, espérances, variances, la composition phi o X, lois classiques, utilisation du théorème de transfert, variables à densité et géométrie.

— Conductueur 2 Convolution... (pour l’instant 30 exercices et 13 corrections)

 Une sélection de 22 QSP ESCP contenant des variables aléatoires à densité.

 Une sélection de 23 QSP HEC contenant des variables aléatoires à densité.

 Une sélection de 13 exercices EDHEC-ECRICOME contenant des variables aléatoires à densité (16-01-2014).

 Une sélection de problèmes de concours.

— S1 ECRICOME 1998 Pb

Thème : Temps d’attente aux guichets d’une mairie.

Parties du programme utilisées : Variables aléatoires à densite,convolution, loi uniforme, loi exponentielle.

Remarque : Bon problème pour se mettre en règle avec la convolution.

— S1 ECRICOME 2003 Pb

Thème : Estimation ponctuelle et par intervalle de confiance de la variance d’une loi normale.

Parties du programme utilisées : Réduction d’une matrice symétrique, variables aléatoires à densité, loi normale, loi Gamma..

Remarque : Ne nécessite AUCUNE connaissance en estimation (tout est rappelé). Assez bon entrainement sur les variables aléatoires à densité.

— S3 ECRICOME 2005 Pb

Thème : Loi de Student. Obtention d’une loi de Cauchy à partir des lois normales.

Parties du programme utilisées : Intégrales impropres, variables aléatoires à densité, loi normale, algorithmique.

Remarque : Bon entrainement sur les variables aléatoires à densité pour les débutants.

— S4 EDHEC 2009 Pb

Thème : Etude et construction d’une densité du type .

Parties du programme utilisées : Séries, variables aléatoires à densité, loi exponentielle.

Remarque : Un bon petit exercice pour les débutants.

— S5 D’après HEC 1982

Thème : Étude d’un jeu associé au lancer d’une roue de loterie.

Parties du programme utilisées : Suites, variables aléatoires discrètes, variables aléatoires à densité, calcul matriciel.

—  S6 HEC 1995

Thème : Loi de Pareto, indice de Gini. Application à l’étude de la répartition de revenus et de leur imposition.

Parties du programme utilisées : Variables aléatoires à densité. Remarque : I A et I B constituent un bon entrainement sur les variables à densité au moins pour les débutants.

— S7 HEC MII 1996

Thème : Stratégie dans la gestion d’une action boursière ou problème ’’des beaux partis’’.

Parties du programme utilisées : Suites, variables aléatoires discrètes et à densité. Remarque : Seule la partie II contient des variables aléatoires à densité. Problème plus intéressant pour la problématique proposée que pour les variables aléatoires à densité.

— S8 HEC MII 1999

Thème : Loi du khi-deux. Application à un test statistique.

Parties du programme utilisées : Variables aléatoires discrètes et à densité. Loi binomiale, de Poisson, gamma, normale. Convergence en loi, théorème de la limite centrée, approximation. Réduction d’une matrice symétrique à coefficients réels. Éléments de statistique.

Remarque : Peu de variables aléatoires à densité mais problème très classique.

— S9 HEC MII 2001

Thème : Modélisation au cours du temps du capital d’une compagnie d’assurance.

Parties du programme utilisées : Séries. Intégration sur un segment et intégrales impropres. Formule de Taylor avec reste intégral. Variables aléatoires discrètes et à densité. Loi de Poisson, exponentielle, gamma, normale. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Convergence en loi, théorème de la limite centrée.

Remarque : Beau problème parfois délicat. Bon entrainement sur les variables à densité pour les non débutants.

— S10 HEC MII 2002

Thème : Transformation de Laplace. Étude du régime permanent d’une file d’attente de type FIFO (first in first out).

Parties du programme utilisées : Suites. Fonctions de classe C^1. Intégrales généralisées. Inégalité de Taylor-Lagrange. Indicatrices. Variables aléatoires à densité. Théorème de transfert Remarque : Même chose que 2001, beau problème parfois délicat. Bon entrainement sur les variables à densité pour les non débutants.

— S11 HEC MII 2003

Thème : Deux caractérisations de la loi exponentielle.

Parties du programme utilisées : Réciproque d’une fonction. Intégration sur un segment. Variables aléatoires à densité. Loi exponentielle.

Remarque : Un beau problème… d’analyse !

— S12 HEC MII 2004

Thème : Lois stables. Stabilité de la loi normale et de la loi de Cauchy. Événements exceptionnels.

Parties du programme utilisées : Suites. Polynômes. Intégrales sur un segment et intégrales impropres. Variables aléatoires à densité. Convolution. Loi normale.

Remarque : Les parties II et III constituent un bon entrainement sur la convolution.

— S13 HEC MII 2008

Thème : Loi du Chi 2 centré et décentré. Estimateur de James-Stein.

Parties du programme utilisées : Intégrales impropres, variables aléatoires à densité, loi Gamma, loi normale, théorème de transfert, espérances conditionnelles, estimation ponctuelle.

Remarque : Les parties I, II et III constituent un bon entrainement sur les variables aléatoires à densité.

— S14 HEC MII 2010

Thème : Preuves probabilistes de quelques propriétés de la fonction Gamma.

Parties du programme utilisées : Suites, séries, intégrales impropres, fonction gamma, loi uniforme, loi exponentielle, loi Gamma, convolution, convergence en probabilité et en loi, estimation ponctuelle, algorithmique.

Remarque : Pas mal de choses sur les variables aléatoires à densité mais texte très imprécis au niveau de l’indépendance. Les courageux peuvent essayer…

Le texte est merdique et j’ai peur que la correction le soit tout autant...

— S15 HEC MII 2011

Thème : Qualités ’’estimatrices’’ de la moyenne empirique et de la médiane empirique (dixit le rapport...).

Parties du programme utilisées : Suites, étude de fonction, développements limités, formule de Taylor-Young, intégration sur un segment, variables aléatoires à densité, convergence en loi, loi normale, théorème de transfert, estimation ponctuelle, intervalle de confiance

Remarque : La partie I constitue un bon entrainement sur les variables aléatoires à densité. II est intéressante mais plus délicate (on peut l’aborder en sachant très peu de choses sur l’estimation).

 D’autre sujets.

— Sujet 1 Médiane.

— Sujet 2 Loi bêta.

— Sujet 3 Inégalité des grandes déviations. ESSEC MII 2005

— Sujet 4 Loi de Cauchy (24-01-2014)